Kinematyka Ruch (fizyka)

Ruch przyspieszony po okręgu

W module tym uzupełnimy wiadomości z ruchu po okręgu wyprowadzając równania na przyspieszenie w tymże ruchu.

Współrzędne \( x, y \) punktu poruszającego się po okręgu można wyrazić za pomocą promienia \( R \) (o stałej wartości) oraz kąta ( Rys. 1 poniżej).

Rysunek 1:

\( \begin{matrix}{x(t)=R\cos\varphi (t)}\\ {y(t)=R\sin\varphi (t)} \end{matrix} \)

Przy czym związek między drogą liniową \( s \), a drogą kątową \( \varphi \), jest dany z miary łukowej kąta \( \varphi = s/R \).

Różniczkując powyższe równania możemy obliczyć zgodnie ze wzorami Ruch na płaszczyźnie-( 1 ), Ruch na płaszczyźnie-( 2 ), Ruch na płaszczyźnie-( 3 ) składowe prędkości

(1)

\( \begin{matrix}{v_{{x}}=-R\frac{{d\varphi}}{{dt}}\sin\varphi =-{R\omega }\sin\varphi} \\v_{{y}}=R\frac{{d\varphi}}{{dt}}\cos\varphi ={R\omega }\cos\varphi\end{matrix} \)

gdzie wprowadzono prędkość kątową \( \omega =d\varphi/dt. \)

Różniczkując z kolei uzyskane równania otrzymamy zgodnie ze wzorami Ruch na płaszczyźnie-( 1 ), Ruch na płaszczyźnie-( 2 ), Ruch na płaszczyźnie-( 3 ) składowe przyspieszenia

(2)

\( \begin{matrix}{a_{{x}}=-{\bf R}\frac{{d\omega}}{{dt}}{sin}\varphi -{{\bf R}\omega}\frac{{d\varphi }}{{dt}}{cos}\varphi=-{{\bf R}\alpha }{sin}\varphi -{{\bf R}\omega}^{{2}}{cos}\varphi } \\ a_{{y}}={\bf R}\frac{{d\omega}}{{dt}}{cos}\varphi -{{\bf R}\omega}\frac{{d\varphi }}{{dt}}{sin}\varphi={{\bf R}\alpha }{cos}\varphi -{{\bf R}\omega}^{{2}}{sin}\varphi \end{matrix} \)

lub

(3)

\( \begin{matrix}{a_{{x}}=\frac{\alpha }{\omega }v_{{x}}-{x\omega}^{{2}}} \\ a_{{y}}=\frac{\alpha }{\omega}v_{{y}}-{y\omega }^{{2}} \end{matrix} \)

gdzie wprowadzono przyspieszenie kątowe \( \alpha = d \omega /dt \).

Na podstawie powyższych zależności możemy obliczyć wektor całkowitego przyspieszenia

(4)

\( {\bf a}=\frac{\alpha }{\omega }{\bf v}-{{\bf R}\omega }^{{2}} \)

Wektor przyspieszenia całkowitego a jest sumą dwóch wektorów: przyspieszenia stycznego a \( _{s} \) (równoległego do wektora prędkości v)

(5)

\( {\bf a_{{s}}}=\frac{\alpha }{\omega }{\bf v} \)

i przyspieszenia normalnego a \( _{n} \) (przeciwnego do wektora R czyli skierowanego do środka okręgu)

(6)

\( \bf {a_{{n}}}=-{{\bf R}\omega }^{{2}} \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email: